Nicolas De Ro

Comment quantifier la complexité d'un système quantique et comment comparer la complexité de différents systèmes ? La complexité de Krylov a récemment vu le jour comme une mesure simple et naturelle de la complexité d'un système quantique, s'appliquant aux deux objets fondamentaux de la mécanique quantique : les états et les opérateurs. Un opérateur est une instruction mathématique qui transforme un état quantique ou extrait des informations physiques de celui-ci. Au fil du temps, ces opérateurs évoluent, révélant la nature de la dynamique sous-jacente du système. En examinant l'interaction entre un opérateur fixé et l'opérateur d'énergie totale du système, l'hamiltonien, un espace mathématique abstrait, connu sous le nom d'espace de Krylov, peut être construit. La complexité de Krylov quantifie la manière dont un opérateur se propage dans cet espace au fil du temps. Une question naturelle est de savoir si ce cadre peut également être appliqué aux systèmes classiques. Dans ce travail, nous étendons la définition de la complexité de Krylov à la mécanique classique et la testons sur une classe de systèmes quantiques simples impliquant des degrés de liberté de spin. Ces systèmes deviennent classiques à mesure que la norme du spin augmente. Malgré leur apparente simplicité, nous démontrons que les symétries inhérentes à ces systèmes contraignent fortement la dimension de leur espace de Krylov quantique. Nous proposons également une mesure plus raffinée de la complexité de Krylov en la contraignant à des intervalles d'énergie, tant au niveau classique que quantique.

La dynamique de l'atmosphère et des océans est régie par des équations du mouvement dérivées de principes physiques fondamentaux. Les observations indiquent que les dynamiques atmosphériques et océaniques sont généralement dépendantes du temps et très variables. L'émergence de telles solutions sous l'effet d'instabilités est un élément essentiel de la compréhension des mouvements à grande échelle. L'instabilité barocline résulte de la présence d'un gradient horizontal de température dans un fluide en rotation soumis à un cisaillement vertical du vent. La croissance de ces ondes baroclines instables génère des tempêtes et influence les circulations atmosphériques et océaniques mondiales. Bien que l'étude de la croissance de ces ondes soit une tâche difficile dans le système terrestre réel, modéliser l'atmosphère ou l'océan comme deux couches de fluides stratifiés en rotation offre un cadre de recherche idéal, capturant l'essentiel de la dynamique. Nous utilisons ici une telle représentation, proposée à l'origine par Joseph Pedlosky, pour explorer la croissance non linéaire des ondes baroclines à amplitude finie, qui présentent du chaos déterministe et d'autres caractéristiques complexes à mesure que la dissipation est introduite dans le système. Cette étude revisite le modèle à deux couches au moyen de techniques analytiques et numériques modernes permettant une description détaillée de la nature des solutions générées par le système. Parmi les principales conclusions, la présence de multiples attracteurs coexistants avec des frontières de bassin complexes ajoute une complexité supplémentaire au système, rendant le problème de prévision météorologique beaucoup plus difficile.

D'un poêle à bois réchauffant une pièce en hiver à un sachet de thé diffusant dans de l'eau chaude, notre monde est façonné par le mouvement et le changement. Les phénomènes de transport englobent l'idée familière selon laquelle la variation d'une quantité thermodynamique — telle que la température ou la densité de particules — entraîne un mouvement, ou plus précisément, un flux. Une question centrale en physique est de comprendre quelle est la relation mathématique exacte entre ces forces thermodynamiques et les flux qui en résultent. En première approximation, cette relation est linéaire, définissant les coefficients de transport comme des constantes de proportionnalité. Ceux-ci incluent des propriétés connues telles que la conductivité thermique, le coefficient de diffusion et la viscosité. Bien que leurs définitions soient bien comprises au niveau macroscopique, une problématique plus profonde subsiste : les processus de transport macroscopiques sont intrinsèquement dissipatifs, générant de l'entropie et créant ainsi une « flèche du temps » irréversible. Ceci contraste avec la symétrie par renversement temporel inhérente aux lois microscopiques de la mécanique quantique. Dans ce travail, nous dérivons les formules de Green-Kubo, qui définissent ces coefficients de transport macroscopiques directement en termes de quantités microscopiques elles-mêmes dérivées de principes fondamentaux de la mécanique quantique. Pour y parvenir, nous utilisons l'approche d'équilibre local, décrivant un système qui reste globalement hors équilibre tout en restant localement à l'équilibre thermodynamique.